Question

在△ABC中，AB⊥BC，AB = BC，E为BC上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE,交AE的延长线于点F，连结BF,过点B作BG⊥BF交AE于G．

（1）求证：△ABG ≌ △CBF；

（2）若E为BC中点，求证：CF + EF = EG.

Answer

（1）见详解（2）见详解

【解析】

（1）证明∠BAG=∠BCF，∠ABG=∠CBF；即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；证明BH=CF，HE=EF；此为解决问题的关键性结论；证明GH=CF，即可解决问题．

【解析】
（1）如图，∵∠ABC=∠AFC=90°，
∴A、B、F、C四点共圆，
∴∠BAG=∠BCF；
∵AB⊥BC，BG⊥BF，
∴∠ABC=∠GBF，
∴∠ABG=∠CBF；
在△ABG与△CBF中，，
∴△ABG≌△CBF（ASA）．
（2）

如图，过点B作BH⊥AF；
∵CF⊥AE，
∴BH∥CF，△BHE∽△CFE，
∴BH：CF=GE：EF=BE：CE，
∵BE=CE，
∴BH=CF，HE=EF；
∵△ABG≌△CBF，
∴BG=BF，
∴GH=HF，
∴BH=GF=GH，
∴GH=CF，而GE=EF，
∴CF+EF=EG．