Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（a，a）在第一象限，点B（0，b），点C（3，0），

其中0＜b＜3，∠BAC＝90°．

（1）根据题意，画出示意图；

（2）若a＝2，求OB的长；

（3）已知点D在线段OB的上，若 ，四边形OCAD的面积为3，求的值．

Answer

（1）见详解（2）1（3）2

【解析】

（1）根据题意画出图形即可；
（2）由勾股定理表示出BC2=c2+9，AC2=（2-c）2+4，AB2=1+4=5，根据AB2+AC2=BC2，即5+（2-c）2+4=c2+9，解之可得c的值；
（3）过点A作AE⊥x轴于点E，作AF⊥y轴于点F，OF=OE=AF=AE=a，∠AEC=∠AFB=90°，由△ACE≌△ABF知BF=CE=3-a、OC=2a-3，根据OB2-OC2=8S△CAD得CD=3-a、OD=OC-CD=3a-6，最后由S四边形OBAD=S△OAB+S△OAD可得关于a的方程，变形可得答案．

【解析】
（1）

(2)

如图，
过点A作AF⊥y轴于点F，AE⊥x轴于点E.

若a=2，则A（2，2），
连接BC，则在Rt△BOE中，BC2= OB2+OC2=b2+9，

在Rt△AEC中AC2= AE2+EC2=22+(3-2)2=5，

在Rt△AFB中AB2= AF2+BF2=22+(2-b)2，

∵∠BAC=90°，
∴在Rt△ABC中，AB2+AC2=BC2，

即22+(2-b)2+5= b2+9，
解得：b=1，
即OB= b=1；
（3）

过点A作AE⊥x轴于点E，作AF⊥y轴于点F，连接AD.
由平面直角坐标系知：OF=OE=AF=AE=a，∠AEC=∠AFB=90°，
∵∠BAC=∠CAE+∠BAE=90°，∠FAE=∠FAB+∠BAE=90°，
∴∠CAE=∠FAB，
在△ACE和△ABF中，

∴△ACE≌△ABF（AAS），
∴BF=CE=3-a，

∴OB=OF-BF=a-(3-a)=2a-3
∵OC=3，，
∴9-（2a-3）2=8

即=

∵S四边形OCAB =S四边形OCAD+

S四边形OCAB= S四边形OEAB+S △ACE

△ACE≌△ABF，
∴S四边形OCAD+= S四边形OEAB+S △ACE= S四边形OEAB+S △ABF= S四边形OEAF=a2

∵四边形OCAD的面积为3

∴3+= a2

化简得：