Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE．

（1）证明：AE=CE=BE；

（2）若DA⊥AB，BC=6,P是直线DE上的一点．则当P在何处时，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值．

Answer

（1）详见解析；（2）当点P与点E共点时，PB+PC的值最小，最小值为12．

【解析】

（1）根据等边三角形“三线合一”的性质证得DE垂直平分AC；然后由等腰三角形的判定知AE=CE，根据等边对等角、直角三角形的两个锐角互余的性质以及等量代换求得∠BCE=∠B；最后根据等角对等边证得CE=BE，所以AE=CE=BE；

（2）由（1）知，DE垂直平分AC，故PC=PA；由等量代换知PB+PC=PB+PA；根据两点之间线段最短可知，当点P、B、A在同一直线上最小，所以点P在E处时最小．

【解析】
（1）∵△ADC是等边三角形，DF⊥AC，

∴DF垂直平分线段AC，

∴AE＝EC， ∴∠ACE＝∠CAE， ∵∠ACB＝90°，

∴∠ACE+∠BCE＝90°＝∠CAE+∠B＝90°，

∴∠BCE＝∠B， ∴CE＝EB， ∴AE＝CE＝BE．

（2）连接PA，PB，PC．

∵DA⊥AB， ∴∠DAB＝90° ，∵∠DAC＝60°，

∴∠CAB＝30°， ∴∠B＝60°，

∴BC＝AE＝EB＝CE＝6． ∴AB＝12，

∵DE垂直平分AC， ∴PC＝AP， ∴PB+PC＝PB+PA，

∴当PB+PC最小时，也就是PB+PA最小，即P，B，A共线时最小，

∴当点P与点E共点时，PB+PC的值最小，最小值为12．