Question

已知，在平面直角坐标系中，A（m，0）、B（0，n），m、n满足(m-n)²+|m-|=0．C为AB的中点，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO＝PD，DE⊥AB于E．

（1）求∠OAB的度数；

（2）设AB＝4，当点P运动时，PE的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE的值；

（3）设AB＝4，若∠OPD＝45°，求点D的坐标．

Answer

（1）∠OAB＝45°．（2）

【解析】

（1）根据非负数的性质即可求得a，b的值，从而得到△AOB是等腰直角三角形，据此即可求得；

（2）根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质可以得到∠POC=∠DPE，即可证得△POC≌△DPE，则OC=PE，OC的长度根据等腰直角三角形的性质可以求得；

（3）利用等腰三角形的性质，以及外角的性质证得∠POC=∠DPE，即可证得△POC≌△DPE，根据全等三角形的对应边相等，即可求得OD的长，从而求得D的坐标．

【解析】
（1）根据题意得：

，

解得：m＝n＝，

∴OA＝OB， 又∵∠AOB＝90°

∴△AOB为等腰直角三角形，

∴∠OAB＝45°．

（2）PE的值不变．理由如下：

∵△AOB为等腰直角三角形，且AC＝BC， ∴∠AOC＝∠BOC＝45°

又∵OC⊥AB于C， ∵PO＝PD ∴∠POD＝∠PDO

当P在BC上时，

∵∠POD＝45°+∠POC，∠PDO＝45°+∠DPE，

∴∠POC＝∠DPE

在△POC和△DPE中，

∴△POC≌△DPE，∴OC＝PE

又 ∴PE＝2；

当P在AC上时，∠POD＝45°﹣∠POC，∠PDO＝45°﹣∠DPE，

则∠POC＝∠DPE．

同理可得PE＝2；

（3）∵OP＝PD，

∴，

则∠PDA＝180°﹣∠PDO＝180°﹣67.5°＝112.5°，

∵∠POD＝∠A+∠APD，

∴∠APD＝67.5°﹣45°＝22.5°，

∴∠BPO＝180°﹣∠OPD﹣∠APD＝112.5°，

∴∠PDA＝∠BPO

则在△POB和△DPA中，

∴△POB≌△DPA（AAS）．

∴PA＝OB＝，

∴DA＝PB＝

∴OD＝OA﹣DA＝

∴