Question

取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A顺时针方向旋转，旋转角度为α（0°＜α≤45°），得到△ABC′．

①当α为多少度时，AB∥DC？

②当旋转到图③所示位置时，α为多少度？

③连接BD，当0°＜α≤45°时，探求∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明．

Answer

（1）当α＝15°时，AB∥DC；（2）α＝45°；（3）详见解析.

【解析】

（1）若AB∥DC，则∠BAC=∠C=30°，得到α=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°；
（2）当旋转到图③所示位置时，α=45°，
（3）连接CC′，BD，BO，在△BDO和△OCC′中，利用三角形内角和定理得到∠BDO+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C，即可求得∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°，即得到∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不变．

【解析】
（1）【解析】
（1）如图②，
∵AB∥DC，
∴∠BAC=∠C=30°，
∴α=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°，
所以当α=15°时，AB∥DC；

（2）当旋转到图③所示位置时，α＝45°.

（3）当0°＜α≤45°时，∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC值的大小不变.

证明：连接CC′，在△BDO和△OCC′中，对顶角∠BOD＝∠COC′，

∴∴∠BDO+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C，
∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=∠BDO+∠α+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C+∠α
=180°-∠ACD-∠AC′B，
=180°-45°-30°=105°

∴当0°＜α≤45°时，∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC值的大小不变