Question

已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，使∠FCA=∠AOE，交AB的延长线于点D．

（1）求证：FD是⊙O的切线；

（2）设OC与BE相交于点G，若OG=2，求⊙O半径的长；

（3）在（2）的条件下，当OE=3时，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析（2）6；（3）

【解析】

证明：（1）连接OC（如图①），

∵OA=OC，

∴∠1=∠A．

∵OE⊥AC，

∴∠A+∠AOE=90°．

∴∠1+∠AOE=90°．

∵∠FCA=∠AOE，

∴∠1+∠FCA=90°．即∠OCF=90°．

∴FD是⊙O的切线．

（2）连接BC，（如图②）

∵OE⊥AC，

∴AE=EC（垂径定理）．

又∵AO=OB，

∴OE∥BC且．

∴∠OEG=∠GBC（两直线平行，内错角相等），

∠EOG=∠GCB（两直线平行，内错角相等），

∴△OEG∽△CBG．

∴．

∵OG=2，

∴CG=4．

∴OC=OG+GC=2+4=6．

即⊙O半径是6；

（3）∵OE=3，由（2）知BC=2OE=6，

∵OB=OC=6，

∴△OBC是等边三角形．

∴∠COB=60°．

∵在Rt△OCD中，CD=OC×tan60°=6，

∴S阴影=S△OCD﹣S扇形OBC=．