Question

如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P作PF⊥BC于点F，试问△PDF的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．

（3）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由．

Answer

(1) y=﹣+x+3；(2) 有最大值,;(3) 存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（，）或（，﹣）．

【解析】

试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；

（2）设P（m，﹣m2+m+3），△PFD的周长为L，再利用待定系数法求直线BC的解析式为：y=﹣x+3，表示PD=﹣，证明△PFD∽△BOC，根据周长比等于对应边的比得：，代入得：L=﹣（m﹣2）2+，求L的最大值即可；

（3）如图3，当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，又知Q落在y轴上时，则CQ∥PD，由四边相等：CD=DP=PQ=QC，得四边形CDPQ是菱形，表示P（n，﹣ +n+3），则D（n，﹣n+3），G（0，﹣n+3），利用勾股定理表示PD和CD的长并列式可得结论．

试题解析:

（1）由OC=3OA，有C（0，3），

将A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c中，得：

，

解得：，

故抛物线的解析式为：y=﹣+x+3；

（2）如图2，设P（m，﹣m2+m+3），△PFD的周长为L，

∵直线BC经过B（4，0），C（0，3），

设直线BC的解析式为：y=kx+b，

则

解得：

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，

则D（m，﹣），PD=﹣，

∵PE⊥x轴，PE∥OC，

∴∠BDE=∠BCO，

∵∠BDE=∠PDF，

∴∠PDF=∠BCO，

∵∠PFD=∠BOC=90°，

∴△PFD∽△BOC，

∴，

由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，

故△BOC的周长=12，

∴，

即L=﹣（m﹣2）2+，

∴当m=2时，L最大=；

（3）存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，如图3，

当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，

理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，

当点Q落在y轴上时，CQ∥PD，

∴∠PCQ=∠CPD，

∴∠PCD=∠CPD，

∴CD=PD，

∴CD=DP=PQ=QC，

∴四边形CDPQ是菱形，

过D作DG⊥y轴于点G，

设P（n，﹣ +n+3），则D（n，﹣n+3），G（0，﹣），

在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=[（﹣n+3）﹣3]2+n2=，

而|PD|=|（﹣）﹣（﹣n+3）|=|﹣+3n|，

∵PD=CD，

∴﹣①，

﹣，

解方程①得：n=或0（不符合条件，舍去），

解方程②得：n=或0（不符合条件，舍去），

当n=时，P（，），如图3，

当n=时，P（，﹣），如图4，

综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（，）或（，﹣）．