Question

如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若∠F＝30°，EB＝8，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π）

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD，如图，根据平行四边形的性质得OC∥BE，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠1＝∠2，则可根据“SAS”判断△ODC≌△OAC，从而得到∠ODC＝∠OAC＝90°，然后根据切线的判定定理得CF是⊙O的切线；

（2）利用∠F＝30°得到∠FOD＝60°，则∠1＝∠2＝60°，再根据平行四边形的性质得OC＝BE＝8，接着在Rt△AOC中计算出OA＝4，AC＝4，然后利用扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S四边形AODC﹣S扇形AOD进行计算．

（1）证明：连接OD，如图，

∵四边形EBOC是平行四边形，

∴OC∥BE，

∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，

∵OB＝OD，

∴∠3＝∠4，

∴∠1＝∠2，

在△ODC和△OAC中

,

∴△ODC≌△OAC，

∴∠ODC＝∠OAC＝90°，

∴OD⊥CD，

∴CF是⊙O的切线；

（2）【解析】
∵∠F＝30°，

∴∠FOD＝60°，

∴∠1＝∠2＝60°，

∵四边形EBOC是平行四边形，

∴OC＝BE＝8，

在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，AC＝OA＝4,

∴图中阴影部分的面积＝S四边形AODC﹣S扇形AOD

＝2××4×4﹣

＝16﹣π．