Question

如图①，E在AB上，、都为等腰直角三角形，，连接DB，以DE、DB为边作平行四边形DBFE，连接FC、DC．

（1）求证：；；

（2）将图①中绕A点顺时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．

（3）将图①中的绕A点顺时针旋转，，其它条件不变，当四边形DBFE为矩形时，直接写出的值．

Answer

（1）见解析；（2）结论成立，见解析；（3）或

【解析】

（1）先由△ACB、△ADE都为等腰直角三角形得出AD=DE，AC=BC，再由四边形DBFE是平行四边形得DE=BF，再证明∠CAD=∠CBF，即可证明△CAD≌△CBF，进而解决问题；

（2）延长DE交BC于M，只要证明△CAD≌△CBF即可解决问题；

（3）分两种情形画出图形即可解决问题.

（1）证明：如图①中，

∵△ACB、△ADE都为等腰直角三角形，∠ADE=∠ACB=90°，

∴AD=DE，AC=BC，

∴∠AED=∠DAE=∠ABC=45°，

∵四边形DBFE是平行四边形，

∴DE=BF，DE∥BF，

∴AD=BF，∠FBE=∠DEB=180°-45°=135°，

∴∠FBC=135°-45°=90°，

∵∠CAD=∠CAB+∠DAE=45°+45°=90°，

∴∠CAD=∠CBF，

∴△CAD≌△CBF，

∴CD=CF，∠ACD=∠BCF，

∵∠ACD+∠BCD=90°

∴∠FCB+∠BCD=90°

∴∠DCF=∠ACB=90°，

∴CD⊥CF，CD=CF．

（2）结论成立．

理由：如图②中，延长DE交BC于M．

∵△ACB、△ADE都为等腰直角三角形，∠ADE=∠ACB=90°，

∴AD=DE，AC=BC，

∴∠AED=∠DAE=∠ABC=45°，

∵四边形DBFE是平行四边形，

∴DE=BF，DE∥BF，

∴∠FBC=∠DMB，

∵∠DAC+∠CMD=360°-90°-90°=180°，∠DMB+∠CMD=180°，

∴∠DAC=∠DMB，

∴∠FBC=∠CAD，

∴△CAD≌△CBF，

∴CD=CF，∠ACD=∠BCF，

∴∠DCF=∠ACB=90°，

∴CD⊥CF，CD=CF．

（3）如图③中，当旋转角α=45°时，四边形BDEF是矩形；

如图④中，当旋转角α=225°时，四边形BDEF是矩形；

综上所述，α为45°或225°时，四边形EFBD是矩形．