Question

如图，已知AE∥BF，∠A=60°，点P为射线AE上任意一点（不与点A重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBF，交射线AE于点C，点D．

（1）图中∠CBD=            °；

（2）当∠ACB=∠ABD时，∠ABC=      °；

（3）随点P位置的变化，图中∠APB与∠ADB之间的数量关系始终为      ，请说明理由．

Answer

（1）60 ；（2）30 ；（3），见解析.

【解析】

（1）根据角平分线的定义只要证明∠CBD∠ABF即可；

（2）想办法证明∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBF即可解决问题；

（3）∠APB=2∠ADB．可以证明∠APB=∠PBF，∠ADB=∠DBF∠PBF．

（1）∵AE∥BF，∴∠ABF=180°﹣∠A=120°．

又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBF，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP（∠ABP+∠PBF）∠ABF=60°．

故答案为：60．

（2）∵AE∥BF，∴∠ACB=∠CBF．

又∵∠ACB=∠ABD，∴∠CBF=∠ABD，∴∠ABC=∠ABD﹣∠CBD=∠CBF﹣∠CBD=∠DBF，∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBF，∴∠ABC∠ABF=30°．

故答案为：30．

（3）∠APB=2∠ADB．理由如下：

∵AE∥BF，∴∠APB=∠PBF，∠ADB=∠DBF．

又∵BD平分∠PBF，∴∠ADB=∠DBF∠PBF∠APB，即∠APB=2∠ADB．