Question

同学们知道，|8﹣3|表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与3两点间的距离．试探索：

（1）填空：|8+3|表示数轴上数8与数　   　两点间的距离；

（2）|x+5|+|x﹣2|表示数轴上数x与数　   　的距离和数x与数　   　的距离的和．

（3）满足|x+5|+|x﹣2|＝7的所有整数x的值是　   　．

（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值；如果没有，说明理由．

Answer

（1）﹣3；（2）﹣5，2；（3）﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（4）|x﹣3|+|x﹣6|≥3

【解析】

（1）由差的绝对值的几何意义求出数为-3；
（2）由差的绝对值的几何意义求出两定点对应的数为-5，2；
（3）由差的绝对值的几何意义求出到两定点距离和为7的整数为-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2；
（4）由动点在线段AB不同位置分类说明，差的绝对值的几何意义求出到两定点距离和的最小值为3．

【解析】
（1）∵|8﹣3|表示数8与3两点间的距离，

∴|8+3|表示数轴上数8与数﹣3两点间的距离，

故答案为﹣3；

（2）同理可得：|x+5|+|x﹣2|表示数轴上数x与数﹣5的距离和数x与数2的距离的和，

故答案为﹣5，2；

（3）点P对应的数为x，如图1所示：

∴线段AB上所有整数点对应x的取值﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2是都满足AP+BP＝7，

故答案为﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；

（4）有最小值，最小值为3．其理由如下：

①若点P在线段AB上时，

∴|x﹣3|+|x﹣6|＝AP+BP＝3，

②若点P在线段AB的延长线上时，

∴|x﹣3|+|x﹣6|＝AP+BP＞3，

③若点P在线段AB的反向延长线上时，

∴|x﹣3|+|x﹣6|＝AP+BP＞3，

综合所述：|x﹣3|+|x﹣6|≥3．

∴|x﹣3|+|x﹣6|有最小值为3.