Question

如图所示，D、E分别是△ABC的边BC、AC上的点，且AB=AC，AD=AE.

（1）若∠BAD=20°，则∠EDC=          °.

（2）若∠EDC=20°，则∠BAD=          °.

（3）设∠BAD=α，∠EDC=β，你能由（1）（2）中的结果找到α、β间所满足的关系吗?请说明理由.

Answer

（1）10°；（2）40°；（3）α=2β .

【解析】

问题即是弄清∠CDE与∠BAD、∠DAE、∠ADE的大小关系，通过等边对等角及外角与内角的关系探索求解.

解：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，

又∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EDC，

∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，

即∠C+∠EDC+∠EDC=∠B+∠BAD，

∴2∠EDC=∠BAD，

∵∠BAD=20°

∴∠EDC=10º；

(2) ∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，

又∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EDC，

∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，

即∠C+∠EDC+∠EDC=∠B+∠BAD，

∴2∠EDC=∠BAD，

∵∠EDC=20°

∴∠BAD=40°

（3）设∠BAD=α，∠EDC=β，则，α=2β.

证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠ADC=∠BAD+∠B ，

∴∠ADC=∠BAD+∠C……①，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED，

∵∠ADC=∠EDC+∠ADE，

∴∠ADC=∠EDC+∠AED，

又∵∠AED=∠EDC+∠C，

∴∠ADC=∠EDC+∠EDC+∠C=2∠EDC+∠C……②，

由①②得：∠BAD+∠C=2∠EDC+∠C，

所以：∠BAD=2∠EDC，

结论：α=2β.

故答案为（1）10°；（2）40°；（3）α=2β.