Question

如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x²﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x²﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．

(1)若一元二次方程x²﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝______；

(2)若(x﹣2)(mx﹣n)＝0(m≠0)是“倍根方程”，求代数式的值；

(3)若方程ax²+bx+c＝0(a≠0)是倍根方程，且不同的两点M(k+1，5)，N(3﹣k，5)都在抛物线y＝ax²+bx+c上，求一元二次方程ax²+bx+c＝0(a≠0)的根．

Answer

（1）2；（2）1或；（3），.

【解析】

（1）由一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”，得到x1+2x1=3，2x12=c，即可得到结论；

（2）解方程（x-2）（mx+n）=0（m≠0）得x1＝2，x2＝，由方程两根是2倍关系，得到x2=1或43，代入解方程即可得到结论；

（3）由方程ax2+bx+c=0（a≠0）是倍根方程，得到x1=2x2，由已知条件得到得到抛物线的对称轴x=，可得一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根．

解:（1）若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”，则c=2．

故答案为2；

（2）∵是倍根方程，

则，

∴，

∴

①当时，原式=

②当时，原式=

（3）∵方程是倍根方程，设

∵，都在抛物线上，

,∴由抛物线的对称轴 可知：

又∵∴，即，

∴,

即的两根分别为 .