Question

已知P（－3，m）和Q(1，m)是抛物线y＝2x²＋bx＋1上的两点．

(1)求b的值；

(2)判断关于x的一元二次方程2x²＋bx＋1＝0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；

(3)将抛物线y＝2x²＋bx＋1的图象向上平移k(k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值．

Answer

（1）b=4；（2），；（3）k的最小值为2.

【解析】

【解析】
（1）∵点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，

∴P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．

∴抛物线对称轴x＝，

∴b＝4；

（2）由（1）可知，关于x的一元二次方程为2x2＋4x＋1＝0．

∵△＝b2−4ac＝16−8＝8＞0，

∴方程有实根，

∴

解得：，；

（3）由题意将抛物线y＝2x2＋bx＋1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，

∴设为y＝2x2＋4x＋1＋k，

∴方程2x2＋4x＋1＋k＝0没有实数根，

∴△＜0，

∴16−8（1＋k）＜0，

∴k＞1，

∵k是正整数，

∴k的最小值为2．