Question

如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕将△ABD折叠得到△AB′D,AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是_______．

Answer

2或5．

【解析】

先依据勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知：AB′=10，DB=DB′，接下来分为∠B′DE=90°和∠B′ED=90°，两种情况画出图形，设DB=DB′=x，然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可．

∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=10，

∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，

∴BD=DB′，AB′=AB=10．

如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．

设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8-x．

在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2=AF2+FB′2，即（6+x）2+（8-x）2=102．

解得：x1=2，x2=0（舍去）．

∴BD=2．

如图2所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合．

∵AB′=10，AC=6，

∴B′E=4．

设BD=DB′=x，则CD=8-x．

在Rt△′BDE中，DB′2=DE2+B′E2，即x2=（8-x）2+42．

解得：x=5．

∴BD=5．

综上所述，BD的长为2或5．