Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒.

(1) 当t=1时，求△ACP的面积.

(2) t为何值时，线段AP是∠CAB的平分线？

(3) 请利用备用图2继续探索：当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形？(直接写出结论)

(4)当p点在AB上运动时，线段CP值为整数的点有_______________个.

Answer

(1)6;(2)t=1.5;(3) t为3s、5.4s、6s时，△ACP为等腰三角形;(4)6

【解析】

(1)根据速度为每秒2cm，求出出发2秒后CP的长，然后根据面积公式即可得到结果；
(2)如图1，由勾股定理得到AB==10，根据已知条件得到△ACP≌△ADP，于是得到AD=AC=6cm， BD=AB−AD=4cm，根据勾股定理列方程即可得到结论；
(3)①如图2，若P在边BC上时， AC=CP=6cm，此时用的时间为3s，△ACP为等腰三角形；②若PP在AB边上时，有两种情况： (i)若CP=AC=6cm，过C作作CD⊥AB于点D，，根据面积法求得高为4.8cm，在Rt△PCD中， PD=3.6，所以AP=2PD=7.2cm，所以PP运动的路程为18−7.2=10.8cm，则用的时间为5.4s，△ACP为等腰三角形；(ii)若使AP=CA=6cm，此时BP=4cm，P运动的路程为8+4=12cm，所以用的时间为6s，△ACP为等腰三角形；

(4) 当p点在AB上运动时,先求出AC的取值范围，然后分点P在点D两侧讨论即可.

【解析】
(1)当t=1时，PC=1×2=2，
∵AC=6，
∴S△ACP=AC⋅PC=×6×2=6；
(2)如图，

∵∠C=90°，
∴AB==10，
根据题意得：△ACP≌△ADP，
∴AD=AC=6，BD=AB−AD=4，PD=PC=2t，
∴PB=8−2t，
在Rt△PDB中，PD2+BD2=PB2，
∴(2t)2+42=(8−2t)2，
解得： t=1.5；
(3)因为△ACP是以AC为腰的等腰三角形，

① 如图2，若P在边BC上时， AC=CP=6，

此时用的时间为t=6÷2=3，△ACP为等腰三角形；

②若P在AB边上时，有两种情况：
(i)如图3,

若CP=AC=6，过C作作CD⊥AB于点D，根据面积法求得高为4.8cm，
在Rt△PCD中， PD= =3.6，
所以AP=2PD=7.2，
所以P运动的路程为18−7.2=10.8，

则用的时间为t=10.8÷2=5.4，△ACP为等腰三角形；
(ii)如图4，

若使AP=AC=6，此时BP=4， P运动的路程为8+4=12，
所以用的时间为t=12÷2=6，△BCP为等腰三角形；
综上所述，当t为3s、5.4s、6s时，△ACP为等腰三角形．

（4）因为当p点在AB上运动时，由图3知，4.8CP8,

当p点在DB上运动时,CP的整数值可为8,7,6,5；

当p点在DA上运动时,CP的整数值可为6,5,

综上所述，当p点在AB上运动时，线段CP值为整数的点有6个.