Question

如图，∠MON＝30°，点B₁在边OM上，且OB₁＝3，过点B₁作B₁A₁⊥OM交ON于点A₁，以A₁B₁为边在A₁B₁右侧作等边三角形A₁B₁C₁；过点C₁作OM的垂线分别交OM、ON于点B₂、A₂，以A₂B₂为边在A₂B₂的右侧作等边三角形A₂B₂C₂；过点C₂作OM的垂线分别交OM、ON于点B₃、A₃，以A₃B₃为边在A₃B₃的右侧作等边三角形A₃B₃C₃，…；按此规律进行下去，则△A_n﹣1A_nC_n﹣1的高为______.(用含正整数n的代数式表示)

Answer

()n﹣1

【解析】

证明△A1A2C1是等边三角形，△A2A3C2、…、△An﹣1AnCn﹣1都是等边三角形，求出A1C1＝A1B1＝B1C1＝，由等边三角形的性质得出等边△A1A2C1的高为：A1C1＝，同理求出等边△A2A3C2的高为：A2C2＝()2，…，得出规律即可；

【解析】
∵∠MON＝30°，B1A1⊥OM，△A1B1C1是等边三角形，

∴A1B1＝OB1＝，

∠OA1B1＝60°，∠B1A1C1＝60°，

∴∠C1A1A2＝60°，

∵A2B2⊥OM，

∴A2B2∥A1B1，

∴∠A1A2C1＝∠OA1B1＝60°，

∴△A1A2C1是等边三角形，

同理：△A2A3C2、…、△An﹣1AnCn﹣1都是等边三角形，

∴A1C1＝A1B1＝B1C1＝，

∴等边△A1A2C1的高为：A1C1＝，

∵∠C1B1B2＝90°﹣60°＝30°，

∴B2C1＝B1C1＝，

∴A2C2＝A2B2＝A1C1+B2C1＝，

∴等边△A2A3C2的高为：A2C2＝×＝()2，…，

∴△An﹣1AnCn﹣1的高为()n﹣1；

故答案为：()n﹣1.