Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF＝AE.

(1)求证：BF与⊙O相切.

(2)若BF＝5，cosC＝，求⊙O的半径.

Answer

(1)证明见解析；(2)⊙O半径为.

【解析】

(1)连接BD，由于AB=AC，则∠ABC＝∠C，由AF=AE，则∠EBA=∠FBA，从而得出∠ABD+∠FBA=90°，即OB⊥BF，则BF是⊙O切线；

(2) 因为∠C＝∠D，得cos∠D＝=，设BD＝4x，DF＝5x，由BD2+BF2＝DF2列出关于x的方程并求解，从而求出BD.

(1)连接BD，

∵AD⊥AB，

∴∠BAD＝90°，

∴BD是直径，BD过圆心，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C，

又∵∠C＝∠D，

∴∠ABC＝∠D，

∵AD⊥AB，

∴∠ABD+∠D=90°，

∵AF=AE，BA⊥EF，

∴AB是EF的垂直平分线，

∴BE=BF，

∴∠EBA=∠FBA，

∴∠ABF=∠D，

∵∠ABD+∠D=90°，

∴∠ABD+∠ABF＝90°，

∴∠DBF＝90°，

∴OB⊥BF，

又∵OB是⊙O的半径，

∴BF是⊙O切线；

(2)∵∠C＝∠D，

∴cos∠D＝cos∠C＝，

在Rt△BDF中，

cos∠D＝=，

∴设BD＝4x，DF＝5x，

又∵BD2+BF2＝DF2，

∴(4x)2+52＝(5x)2，

x＝，

∵x＞0

∴x＝，

∴BD＝4×＝ ，

∴OB＝BD＝，

∴⊙O半径为.