Question

某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示.

(1)求y与x之间的函数关系式.

(2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实7000千克.

(3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？此时每棵果树的产量是多少？

Answer

(1)y＝﹣x+80；(2)增种果树20棵时，果园可以收获果实7000千克；(3)当增种果树40棵时，果园的总产量最大.每颗果树的产量为60千克.

【解析】

(1)根据该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示即可求解；

(2)根据(1)中求得的函数关系式，代入7000千克，即可求解；

(3)确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义.

【解析】
(1)根据题中的图可以看出，y与x为一次函数的关系，

设函数关系式为y＝kx+b，将(12，74)、(28，66)代入关系式可得

解得k＝﹣，b＝80，

所以y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+80.

(2)根据题意可列方程(-x+80)(x+80)=7000，

化简得x2﹣80x+1200＝0，解得x1＝20，x2＝60，

因为题中要求投入成本最低的情况下，所以x2＝60不符题意舍去，

答：增种果树20棵时，果园可以收获果实7000千克.

(3)根据题意可列函数关系式w＝(﹣x+80)(x+80)＝﹣(x﹣40)2+7200.

令y≥0，可求出自变量x的取值范围是0≤x≤160，

所以当x＝40时，w可取到最大值7200，每颗果树的产量为y＝﹣x+80＝60

答：当增种果树40棵时，果园的总产量最大.每颗果树的产量为60千克.