Question

如图，已知抛物线y＝﹣+bx+c的图象经过点A(﹣1，0)和点C(0，2)，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M.

(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式.

(2)已知点F(0，)，当点P在x轴正半轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

(3)点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

(1)；(2) m＝3和m＝1+； (3)存在，点Q的坐标为(3，2)或(﹣1，0)

【解析】

(1)利用待定系数法确定函数解析式；

(2)先利用待定系数法求出直线BD解析式为y＝x﹣2，则Q(m，﹣m2+m+2)、M(m，m﹣2)，由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM＝DF，分两种情况，①当点P在线段AB上时②当P在AB的延长线上时，分别列出关于m的方程，解之可得；

(3)易知∠ODB＝∠QMB，故分①∠DOB＝∠MBQ＝90°，利用△DOB∽△MBQ得＝，再证△MBQ∽△BPQ得，即 ，解之即可得此时m的值；②∠BQM＝90°，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，易得点Q坐标.

(1)将点A(﹣1，0)和点C(0，2)代入y＝﹣x2+bx+c中，得 .

解得 .

则该抛物线解析式为：；

(2) 由题意知点D坐标为(0，﹣2)，

∵点B是抛物线与x轴正半轴的交点，即，

解得x=4或x=-1（舍去），

∴B坐标为（4，0）；

设直线BD解析式为y＝kx+b，

将B(4，0)、D(0，﹣2)代入，得： ，

解得： ，

∴直线BD解析式为y＝x﹣2，

分以下两种情况：

①当点P在线段AB上时，

∵QM⊥x轴，P(m，0)(m＞0)，

∴Q(m，﹣m2+m+2)、M(m，m﹣2)，

则QM＝﹣m2+m+2﹣(m﹣2)＝﹣m2+m+4，

∵F(0，)、D(0，﹣2)，

∴DF＝，

∵QM∥DF，

∴当﹣m2+m+4＝时，四边形DMQF是平行四边形，

解得：m＝﹣1或m＝3，

∵m＞0，

∴m=3；

即当m＝3时，四边形DMQF是平行四边形；

②当P在AB的延长线上时，

∵QM⊥x轴，P(m，0)(m＞0)，

∴Q(m，﹣m2+m+2)、M(m，m﹣2)，

∴QM＝m﹣2﹣(﹣m2+m+2)＝m2﹣m﹣4，

∵F(0，)、D(0，﹣2)，

∴DF＝，

∵QM∥DF，

∴当m2﹣m﹣4＝时，四边形DMQF是平行四边形，

解得m＝，

∵m＞0，

∴m＝1+；

即当m＝1+时，四边形DMQF是平行四边形；

综上所述，当m＝3和m＝1+时，四边形DMQF是平行四边形；

(3)如图所示：

∵QM∥DF，

∴∠ODB＝∠QMB，

分以下两种情况：

①当∠DOB＝∠MBQ＝90°时，△DOB∽△MBQ，

则 ，

∵∠MBQ＝90°，

∴∠MBP+∠PBQ＝90°，

∵∠MPB＝∠BPQ＝90°，

∴∠MBP+∠BMP＝90°，

∴∠BMP＝∠PBQ，

∴△MBQ∽△BPQ，

∴ ，即 ，

解得：m1＝3、m2＝4，

当m＝4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，

∴m＝3，点Q的坐标为(3，2)；

②当∠BQM＝90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，

此时m＝﹣1，点Q的坐标为(﹣1，0)；

综上，点Q的坐标为(3，2)或(﹣1，0)时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似.