Question

如图①，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB平行于x轴，OA=2OB，AB=5，反比例函数的图象经过点A．

（1）直接写出反比例函数的解析式；

（2）如图②，P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，连接OP，过O 作OQ⊥OP，且OP=2OQ，连接PQ．设Q坐标为（m，n），其中m＜0，n＞0，求n与m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若Q坐标为（m，1），求△POQ的面积．

Answer

（1）y=；（2）n=（﹣4＜m＜﹣）；（3）5.

【解析】

（1）如图①，

∵∠AOB=90°，

∴OA2+OB2=AB2，

∵OA=2OB，AB=5，

∴4OB2+OB2=25，解得OB=，

∴OA=2，

∵AB平行于x轴，

∴OC⊥AB，

∴OC•AB=OB•OA，即OC==2，

在Rt△AOC中，AC=4，

∴A点坐标为（4，2），

设过A点的反比例函数解析式为y=，

∴k=4×2=8，

∴反比例函数解析式为y=；

（2）分别过P、Q作x轴垂线，垂足分别为D、H，如图②，

∵OQ⊥OP，

∴∠POH+∠QOD=90°，

∵∠POH+∠OPH=90°，

∴∠QOD=∠OPH，

∴Rt△POH∽Rt△OQD，

∴，

∵P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，Q点坐标为（m，n），其中m＜0，n＞0，OP=2OQ，

∴PH=y，OH=x，OD=﹣m，QD=n，

∴，解得x=2n，y=﹣2m，

∵y=，

∴2n•（﹣2m）=8，

∴mn=﹣2（﹣4＜m＜﹣），

∴n=（﹣4＜m＜﹣）；

（3）∵n=1时，m=﹣2，即Q点坐标为（﹣2，1），

∴OQ=，

∴OP=2OQ=，

∴S△POQ=．