Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120⁰．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）连接OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

Answer

【解析】
（1） .

（2）150°.

（3）C的坐标为（4，0）或（8，0）.

【解析】

（1）应用三角函数求出点A的坐标，将A，B的坐标代入，即可求得a、b，从而求得抛物线的表达式.

（2）应用二次函数的性质，求出点M的坐标，从而求得，进而求得∠AOM的大小.

（3）由于可得，根据相似三角形的判定，分，两种情况讨论.

【解析】
（1）如图，过点A作AD⊥y轴于点D，

∵AO=OB=2，∴B（2，0）.

∵∠AOB=1200，∴∠AOD=300，∴AD=1，OD=.

∴A（－1，）.

将A（－1，），B（2，0）代入，得：

，解得.

∴这条抛物线的表达式为.

（2）过点M作ME⊥x轴于点E，

∵

∴M（1，），即OE=1，EM= .

∴.∴.

∴∠AOM=∠AOB+∠EPM=150°.

（3）过点A作AH⊥x轴于点H ，

∵AH=，HB=HO＋OB=3，

∴tan∠ABH==

∴∠ABH=30°,∠ABC=150°,

∴∠AOM=∠ABC.

∴要△ABC与△AOM相似，则必须：

①，或②.

设点C的坐标为（c，0），则根据坐标和勾股定理，有

AO=2，OM=，BC=c-2，AB=.

①由得，，解得.∴C1（4，0）.

②由得，，解得c=8.∴C2（8，0）.

综上所述，如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，则点C的坐标为（4，0）或（8，0）.