Question

已知关于x的方程x²﹣（2m﹣1）x+m²+1＝0有两个不相等实数根x₁，x₂

（1）求实数m的取值范围；

（2）若x₁²+x₂²＝x₁x₂+3时，求实数m的值．

Answer

(1) m＜﹣;(2)-1

【解析】

（1）由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系找出x1+x2=2m-1、x1•x2=m2+1，结合x12+x22=x1x2+3即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出m的值，结合（1）的结论即可得出m的值．

（1）∵关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1＝0有两个不相等实数根x1，x2，

∴△＝（2m﹣1）2﹣4（m2+1）＝﹣4m﹣3＞0，

∴m＜﹣ ．

（2）∵x1+x2＝2m﹣1，x1•x2＝m2+1，

∴x12+x22＝x1x2+3，

（x1+x2）2＝3x1x2+3，

（2m﹣1）2＝3（m2+1）+3，

m2﹣4m﹣5＝0，

解得：m＝5或m＝﹣1，

∵m＜﹣，

∴m＝﹣1．

故实数m的值是﹣1．