Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，－4)，C(2，0)三点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形(要求PQ∥OB)，直接写出相应的点Q的坐标．

Answer

（1）y＝x2＋x－4；（2）当m＝－2时，S有最大值，S最大＝4；（3）满足题意的Q点的坐标有三个，分别是（－2＋2，2－2），（－2－2，2＋2），（－4，4）.

【解析】

（1）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式，利用待定系数法求解即可；

（2）利用抛物线的解析式表示出点M的纵坐标，从而得到点M到x轴的距离，然后根据三角形面积公式表示并整理即可得解，根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值，然后即可得解；

（3）利用直线与抛物线的解析式表示出点P、Q的坐标，然后求出PQ的长度，再根据平行四边形的对边相等列出算式，然后解关于x的一元二次方程即可得解．

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-2），把B（0，-4）代入得，

-4=a×（0+4）（0-2），解得a=，

∴抛物线的解析式为：y=（x+4）（x-2），即y=x2+x-4；

（2）过点M作MD⊥x轴于点D，设M点的坐标为（m，n），

则AD=m+4，MD=-n，n=m2+m-4，

∴S=S△AMD+S梯形DMBO-S△ABO

==

-2n-2m-8=-2×（m2+m-4）-2m-8=-m2-4m

=-（m+2）2+4（-4＜m＜0）；

∴S最大值=4．（3）设P（x，x2+x-4）．

①如图1，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，

∴Q的横坐标等于P的横坐标，

又∵直线的解析式为y=-x，则Q（x，-x）．由PQ=OB，

得|-x-（x2+x-4）|=4，解得x=0，-4，-2±2．x=0不合题意，舍去．

由此可得Q（-4，4）或（-2+2，2-2）或（-2-2，2+2）；

②如图2，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．

四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）．

故满足题意的Q点的坐标有四个，分别是

（-4，4），（4，-4），（-2+2，2-2），（-2-2，2+2）．