Question

已知抛物线与轴、轴分别相交于点A（－1，0）和B（0，3），其顶点为D。

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）画出此抛物线；   

（3）若抛物线与轴的另一个交点为E，求△ODE的面积；

（4）抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短。若存在请求出点P的坐标，若不存在，说明理由.

Answer

（1）y=﹣x2+2x+3 ；（2）如图所示，见解析；（3）S△ODE=6；（4）存在，点P坐标（1，2）.

【解析】

（1）将点A、B的坐标代入求出b，c即可；

（2）描点、画图即可；

（3）令y=0求出x的值，可得E点坐标，把抛物线一般式化成顶点式可得顶点D的坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；

（4）连接BE交抛物线的对称轴x=1于点P，此时PA+PB的值最小，即△PAB的周长最短，求出直线BE的解析式，然后即可解决问题.

【解析】
（1）根据题意得，

解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）如图所示：

（3）当y=0时，即﹣x2+2x+3=0，

解得：x1=﹣1，x2=3，

∴E（3，0），

∵抛物线y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2 + 4，

∴顶点坐标D（1，4），

∴S△ODE=×3×4=6；

（4）连接BE交抛物线的对称轴x=1于点P，如图，此时PA+PB的值最小，即△PAB的周长最短，

设直线BE的解析式为y=kx+b(k≠0)，

则，解得：，

∴直线BE的解析式为：y=﹣x+3，

当x=1时，y=﹣x+3=2，

∴点P坐标为（1，2）.