Question

如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．

（1）求证：BD=CE；

（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；

Answer

（1）证明见解析；（2）PB的长为或．

【解析】

（1）依据等腰三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，依据同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE，然后依据SAS可证明△ADB≌△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到BD=CE；

（2）分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△PEB∽△AEC，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．

【解析】
（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，

∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，

∴△ADB≌△AEC，

∴BD=CE．

（2）【解析】
①当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．

∵∠EAC=90°，

∴CE==．

同（1）可证△ADB≌△AEC，

∴∠DBA=∠ECA．

∵∠PEB=∠AEC，

∴△PEB∽△AEC，

∴，

∴，

∴PB=．

②当点E在BA延长线上时，BE=3．

∵∠EAC=90°，

∴CE==．

同（1）可证△ADB≌△AEC，

∴∠DBA=∠ECA．

∵∠BEP=∠CEA，

∴△PEB∽△AEC，

∴，

∴，

∴PB=．

综上所述，PB的长为或．