Question

如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点A（1，－4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．

Answer

【解析】
（1）；（2）存在，P（，）；（3）Q点坐标为（0，-）或（0，）或（0，－1）或（0，－3）.

【解析】

（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解.

（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在△POB和△POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件.

（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可.

【解析】
（1）把A（1，﹣4）代入y＝kx﹣6，得k＝2，

∴y＝2x﹣6，

令y＝0，解得：x＝3，

∴B的坐标是（3，0）．

∵A为顶点，

∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2﹣4，

把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，

解得a＝1，

∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．

（2）存在．

∵OB＝OC＝3，OP＝OP，

∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，

此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．

设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝（m＝＞0，舍），

∴P（，）．

（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，

∴，即=，∴DQ1＝，

∴OQ1＝，即Q1（0，-）；

②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，

∴，即，

∴OQ2＝，即Q2（0，）；

③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，

则△BOQ3∽△Q3EA，

∴，即

∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3，

即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．

综上，Q点坐标为（0，-）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．