Question

如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC＝30°.

（1）求∠BOC的度数；

（2）求证：四边形AOBC是菱形.

Answer

（1）∠BOC的度数为60°；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据垂径定理得出，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数；

（2）根据等边三角形的判定得出BC=BO=CO，进而利用（1）中结论得出AO=BO=AC=BC，即可证明结论．

(1)∵点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，

∴，

∵∠ADC=30°，

∴∠AOC=∠BOC=2∠ADC=60°，

∴∠BOC的度数为60°；

（2）证明：∵，

∴AC=BC，

AO=BO，

∵∠BOC的度数为60°，BO=CO

∴△BOC为等边三角形，

∴BC=BO=CO，

∴AO=BO=AC=BC，

∴四边形AOBC是菱形．