Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）作∠BAC的平分线，交BC于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若BD＝5，CD＝3，求AC的长．

Answer

(1)见解析;(2)6.

【解析】

（1）先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC，AB运用H、F；再分别以H、F为圆心，大于HF长为半径画弧，两弧交于点M，最后画射线AM交CB于D；

（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，先证明△ACD≌△AED得到AC=AE，CD=DE=3，再由勾股定理得求的BE长，然后在Rt△ABC中，设AC=x，则AB=AE+BE=x+4，最后再次运用勾股定理求解即可.

【解析】
（1）如图：

（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E.则∠AED=∠BED=90°

∵AD平分∠BAC

∴CD=DE

在RtACD和RtAED中

CD=DE，AD=AD

∴ △CDE≌△AED（HL）

∴AC=AE，CD=DE=3

在Rt△BDE中，

由勾股定理得：DE2+BE2=BD2

∴BE2=BD2-DE2=52-32=16.

∴BE=4

在Rt△ABC中，设AC=x，则AB=AE+BE=x+4.

由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即x2+82=（x+4）2

解得：x=6,即AC=6.