Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，D是BC边上的点，CD＝1，将△ACD沿直线AD翻折，点C刚好落在AB边上的点E处．若P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是______．

Answer

1+

【解析】

连接CE，交AD于M，

∵沿AD折叠C和E重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD．

∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1．

∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE．

∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°．

∵∠B=60°，DE=1，∴BE=，BD=，即BC=1+．

∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠CAB=30°．

∴AB=2BC=2×（1+）=2+．AC=BC=+2．

∴BE=AB﹣AE=2+﹣（+2）=．

∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=1++=1+．