Question

一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：

如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于点O，点P、D分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．

理清思路，本题证明的思路可用下列框图表示：

根据上述思路，请你完成下列问题．

（1）若BP平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．

（2）若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系,并证明得出的关系.

Answer

（1）证明见解析；（2）CD′=AP′，理由见解析.

【解析】

（1）先求出∠3＝∠4，再求出∠ABP＝∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；

（2）设OP＝CP＝x，求出AP＝3x，CD＝x，即可得出答案．

（1）证明：

∵PB＝PD，

∴∠2＝∠PBD，

∵AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠C＝45°，

∵BO⊥AC，

∴∠1＝45°，

∴∠1＝∠C＝45°，

∵∠3＝∠PBC−∠1，∠4＝∠2−∠C，

∴∠3＝∠4，

∵BP平分∠ABO，

∴∠ABP=∠3，

∴∠ABP=∠4，

在△ABP和△CPD中

∴△ABP≌△CPD（AAS），

∴AP=CD．

（2）【解析】
CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′．

理由是：设OP=PC=x，则AO=OC=2x=BO，

则AP=2x+x=3x，

由△OBP≌△EPD，得BO=PE，

PE=2x，CE=2x﹣x=x，

∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，

∴DE=x，由勾股定理得：CD=x，

即AP=3x，CD=x，

∴CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′