Question

有一块形状如图的五边形余料，，，，，.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在上，并使所截矩形的面积尽可能大.

（1）若所截矩形材料的一条边是或，求矩形材料的面积；

（2）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请说明理由.

Answer

（1）S=30；（2）能，的最大值为30.25.

【解析】

（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，过点C作CF⊥AE于F，得出S1=AB•BC=6×5=30；

②若所截矩形材料的一条边是AE，过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，证出△CHF为等腰三角形，得出AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，求出BG=CH=FH=FG-HG=1，AG=AB-BG=5，得出S2=AE•AG=6×5=30；

（2）在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，证出△CGF为等腰三角形，得出MG=BC=5，BM=CG，FG=DG，设AM=x，则BM=6-x，FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x，得出S=AM×FM=x（11-x）=-x2+11x，由二次函数的性质即可得出结果．

（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示：

过点C作CF⊥AE于F，S1=AB•BC=6×5=30；

②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：

过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，

则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，

∵∠C=135°，

∴∠FCH=45°，

∴△CHF为等腰直角三角形，

∴AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，

∴BG=CH=FH=FG-HG=6-5=1，

∴AG=AB-BG=6-1=5，

∴S2=AE•AG=6×5=30；

（2）能；理由如下：

在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，

则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，

∵∠C=135°，

∴∠FCG=45°，

∴△CGF为等腰直角三角形，

∴MG=BC=5，BM=CG，FG=DG，

设AM=x，则BM=6-x，

∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x，

∴S=AM×FM=x（11-x）=-x2+11x=-（x-5.5）2+30.25，

∴当x=5.5时，S的最大值为30.25．