Question

如图，抛物线y=ax² +bx+ 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；

（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，

△EFK的面积最大？并求出最大面积．

Answer

（1）顶点D的坐标为（－1，）

（2）H（，）

（3）K（－，）

【解析】

（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，进而可用配方法求出其顶点D的坐标；
（2）根据抛物线的解析式可求出C点的坐标，由于CD是定长，若△CDH的周长最小，那么CH+DH的值最小，由于EF垂直平分线段BC，那么B、C关于直线EF对称，所以BD与EF的交点即为所求的H点；易求得直线BC的解析式，关键是求出直线EF的解析式；由于E是BC的中点，根据B、C的坐标即可求出E点的坐标；可证△CEG∽△COB，根据相似三角形所得的比例线段即可求出CG、OG的长，由此可求出G点坐标，进而可用待定系数法求出直线EF的解析式，由此得解；
（3）过K作x轴的垂线，交直线EF于N；设出K点的横坐标，根据抛物线和直线EF的解析式，即可表示出K、N的纵坐标，也就能得到KN的长，以KN为底，F、E横坐标差的绝对值为高，可求出△KEF的面积，由此可得到关于△KEF的面积与K点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出其面积的最大值及对应的K点坐标.

（1）由题意，得解得，b=－1．

所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（－1，）．

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH+CH最小，即最小为

DH+CH=DH+HB=BD=．而．

∴△CDH的周长最小值为CD+DR+CH=．

设直线BD的解析式为y=k1x+b，则解得，b1= 3．

所以直线BD的解析式为y=x+ 3．

由于BC= 2，CE=BC∕2 =，Rt△CEG∽△COB，

得CE:CO=CG:CB，所以CG= 2.5，GO= 1.5．G（0，1.5）．

同理可求得直线EF的解析式为y=x+．

联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）．

（3）设K（t，），xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．

则KN=yK－yN=－（t+）=．

所以S△EFK=S△KFN+S△KNE=KN（t+ 3）+KN（1－t）= 2KN= －t2－3t+ 5 =－（t+）2+．

即当t=－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）．