Question

在习题课上，老师让同学们以课本一道习题“如图1，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库E和Q分别位于AD和DC上，且ED＝QC．证明两条直路BE＝AQ且BE⊥AQ．”为背景开展数学探究．

(1)独立思考：将上题条件中的ED＝QC去掉，将结论中的BE⊥AQ变为条件，其他条件不变，那么BE＝AQ还成立吗？请写出答案并说明理由；

(2)合作交流：“祖冲之”小组的同学受此问题的启发提出：如图2，在正方形ABCD内有一点P，过点P作EF⊥GH，点E、F分别在正方形的对边AD、BC上，点G、H分别在正方形的对边AB、CD上，那么EF与GH相等吗？并说明理由．

(3)拓展应用：“杨辉”小组的同学受“祖冲之”小组的启发，想到了利用图2的结论解决以下问题：

如图3，将边长为10cm的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在DC的中点E处，折痕为MN，点N在BC边上，点M在AD边上．请你画出折痕，则折痕MN的长是　   　；线段DM的长是　   　．

Answer

(1)BE＝AQ，理由见解析；(2)EF＝GH，理由见解析；(3)5cm；m．

【解析】

（1）根据BE⊥AQ可求出∠AEB=∠AQD，再由AB=AD，∠BAE=∠ADQ=90°，可证明△ABE≌△DAQ，则结论得出；

（2）可通过构建与已知条件相关的三角形来求解．作BM∥EF交AD于M，作AN∥GH交CD于N，那么BM=EF，AN=GH，（1）中我们已证得△ABM、△DAN全等，那么BM=AN，即EF=GH；

（3）求出AE长，由（2）可知MN=AE，设DM=xcm，则AM=ME=（10-x）cm．将所有未知量转化到直角三角形DME中，利用勾股定理解答即可．

(1)BE＝AQ，

理由如下：∵BE⊥AQ，

∴∠AEB＝90°﹣∠DAQ＝∠AQD，

又∵AB＝AD，∠BAE＝∠QDA＝90°，

∴△ABE≌△DAF(AAS)，

∴BE＝AQ；

(2)EF＝GH，理由如下：

如图1，作BM∥EF交AD于M，作AN∥GH交CD于N，

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形AGHN四边形BMEF都是平行四边形，

∴BM＝EF，AN＝GH，

由(1)知，BM＝AN，

∴EF＝GH；

(3)如图2，

∵E为DC的中点，

∴DE＝5cm，

∴

∵MN⊥AE，由(2)可知，

∴MN＝AE＝5cm，

设DM＝xcm，则AM＝ME＝(10﹣x)cm．

在Rt△DME中，DM2+DE2＝ME2，

即x2+52＝(10﹣x)2，

解得x＝．

∴线段DM的长为cm．

故答案为：5cm，cm．