Question

如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，AD是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线，交DA的延长线于点E，连接BD，且∠E＝∠DBC．

（1）求证：DB平分∠ADC；

（2）若EB＝10，CD＝9，tan∠ABE＝，求⊙O的半径．

Answer

（1）详见解析；（2）OA＝．

【解析】

（1）连接OB，证明∠ABE=∠ADB，可得∠ABE=∠BDC，则∠ADB=∠BDC；
（2）证明△AEB∽△CBD，AB=x，则BD=2x，可求出AB，则答案可求出．

（1）证明：连接OB，

∵BE为⊙O的切线，

∴OB⊥BE，

∴∠OBE＝90°，

∴∠ABE+∠OBA＝90°，

∵OA＝OB，

∴∠OBA＝∠OAB，

∴∠ABE+∠OAB＝90°，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠OAB+∠ADB＝90°，

∴∠ABE＝∠ADB，

∵四边形ABCD的外接圆为⊙O，

∴∠EAB＝∠C，

∵∠E＝∠DBC，

∴∠ABE＝∠BDC，

∴∠ADB＝∠BDC，

即DB平分∠ADC；

（2）【解析】
∵tan∠ABE＝，

∴设AB＝x，则BD＝2x，

∴，

∵∠BAE＝∠C，∠ABE＝∠BDC，

∴△AEB∽△CBD，

∴，

∴，

解得x＝3，

∴AB＝x＝15，

∴OA＝．