Question

已知抛物线，L：y＝ax²+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C，且抛物线L的对称轴为直线x＝1．

（1）抛物线的表达式；

（2）若抛物线L′与抛物线L关于直线x＝m对称，抛物线L′与x轴交于点A′，B′两点（点A′在点B′左侧），要使S_△ABC＝2S_△A′BC，求所有满足条件的抛物线L′的表达式．

Answer

（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）y＝（x﹣3）2﹣4或y＝（x﹣7）2﹣4．

【解析】

（1）抛物线L：y=ax2+bx-3与x轴交于A（-1，0）、B两点，对称轴为直线x=1，则点B（3，0），即可求解；

（2）S△ABC=2S△A′BC，则点A′为（1，0）或（5，0），对应抛物线的对称轴为：x=3或7，即可求解．

【解析】
（1）抛物线L：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，对称轴为直线x＝1，

则点B（3，0），

则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）= a x2﹣2 a x﹣3 a，

∴﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵y＝x2﹣2x﹣3=(x-1)2-4,

∴y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（1，-4）.

∵S△ABC＝2S△A′BC，△ABC与△A′BC等高，

∴AB=2A′B，

∵A（﹣1，0），B（3，0），

∴点A′为（1，0）或（5，0），

∴对应抛物线的对称轴为：x＝3或7，

∴抛物线L′的顶点为（3，-4）或（7，-4）

∴抛物线L′的表达式为：y＝（x﹣3）2﹣4或y＝（x﹣7）2﹣4．