Question

问题提出

（1）如图1，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝60°，AC＝6，求△ABC的外接圆半径R的值；

问题探究

（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝45°，AC＝8，点D为边BC上的动点，连接AD以AD为直径作⊙O交边AB、AC分别于点E、F，接E、F，求EF的最小值；

问题解决

（3）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，AB＝AD，BC+CD＝12，连接AC，线段AC的长是否存在最小值，若存在，求最小值：若不存在，请说明理由．

Answer

（1）△ABC的外接圆的R为6；（2）EF的最小值为12；（3）存在，AC的最小值为9．

【解析】

（1）如图1中，作△ABC的外接圆，连接OA，OC．证明∠AOC=90°即可解决问题；

（2）如图2中，作AH⊥BC于H．当直径AD的值一定时，EF的值也确定，根据垂线段最短可知当AD与AH重合时，AD的值最短，此时EF的值也最短；

（3）如图3中，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接EC，作EH⊥CB交CB的延长线于H，设BE=CD=x．证明EC=AC，构建二次函数求出EC的最小值即可解决问题．

【解析】
（1）如图1中，作△ABC的外接圆，连接OA，OC．

∵∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣75°﹣60°＝45°，

又∵∠AOC＝2∠B，

∴∠AOC＝90°，

∴AC＝6，

∴OA＝OC＝6，

∴△ABC的外接圆的R为6．

（2）如图2中，作AH⊥BC于H．

∵AC＝8，∠C＝45°，

∴AH＝AC•sin45°＝8×＝8，

∵∠BAC＝60°，

∴当直径AD的值一定时，EF的值也确定，

根据垂线段最短可知当AD与AH重合时，AD的值最短，此时EF的值也最短，

如图2﹣1中，当AD⊥BC时，作OH⊥EF于H，连接OE，OF．

∵∠EOF＝2∠BAC＝120°，OE＝OF，OH⊥EF，

∴EH＝HF，∠OEF＝∠OFE＝30°，

∴EH＝OF•cos30°＝4•＝6，

∴EF＝2EH＝12，

∴EF的最小值为12．

（3）如图3中，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接EC，作EH⊥CB交CB的延长线于H，设BE＝CD＝x．

∵∠AE＝AC，∠CAE＝90°，

∴EC＝AC，∠AEC＝∠ACE＝45°，

∴EC的值最小时，AC的值最小，

∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝∠ACB+∠AEB＝30°，

∴∠∠BEC+∠BCE＝60°，

∴∠EBC＝120°，

∴∠EBH＝60°，

∴∠BEH＝30°，

∴BH＝x，EH＝x，

∵CD+BC＝12，CD＝x，

∴BC＝12﹣x

∴EC2＝EH2+CH2＝（x）2+＝x2﹣12x+432，

∵a＝1＞0，

∴当x＝﹣＝6时，EC的长最小，

此时EC＝18，

∴AC＝EC＝9，

∴AC的最小值为9．