Question

已知∠MAN=120°，点C是∠MAN的平分线AQ上的一个定点，点B，D分别在AN，AM上，连接BD．

（发现）

（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，则∠BCD=　 　°，△CBD是　  　三角形；

（探索）

（2）如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，请判断△CBD的形状，并证明你的结论；

（应用）

（3）如图3，已知∠EOF=120°，OP平分∠EOF，且OP=1，若点G，H分别在射线OE，OF上，且△PGH为等边三角形，则满足上述条件的△PGH的个数一共有　    　．（只填序号）

①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上

Answer

（1）60，等边；（2）等边三角形，证明见解析（3）④.

【解析】

（1）利用四边形的内角和即可得出∠BCD的度数，再利用角平分线的性质定理即可得出CB，即可得出结论；

（2）先判断出∠CDE=∠ABC，进而得出△CDE≌△CFB（AAS），得出CD=CB，再利用四边形的内角和即可得出∠BCD=60°即可得出结论；

（3）先判断出∠POE=∠POF=60°，先构造出等边三角形，找出特点，即可得出结论．

（1）如图1，连接BD，

∵∠ABC=∠ADC=90°，∠MAN=120°，

根据四边形的内角和得，∠BCD=360°-（∠ABC+∠ADC+∠MAN）=60°，

∵AC是∠MAN的平分线，CD⊥AM．CB⊥AN，

∴CD=CB，（角平分线的性质定理），

∴△BCD是等边三角形；

故答案为60，等边；

（2）如图2，同（1）得出，∠BCD=60°（根据三角形的内角和定理），

过点C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，

∵AC是∠MAN的平分线，

∴CE=CF，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°，

∴∠CDE=∠ABC，

在△CDE和△CFB中，

，

∴△CDE≌△CFB（AAS），

∴CD=CB，

∵∠BCD=60°，

∴△CBD是等边三角形；

（3）如图3，

∵OP平分∠EOF，∠EOF=120°，

∴∠POE=∠POF=60°，在OE上截取OG'=OP=1，连接PG'，

∴△G'OP是等边三角形，此时点H'和点O重合，

同理：△OPH是等边三角形，此时点G和点O重合，

将等边△PHG绕点P逆时针旋转到等边△PG'H'，在旋转的过程中，

边PG，PH分别和OE，OF相交（如图中G''，H''）和点P围成的三角形全部是等边三角形，（旋转角的范围为（0°到60°包括0°和60°），

所以有无数个；

理由：同（2）的方法．

故答案为④．