Question

（1）已知是直角三角形，，，直线l经过点，分别从点、向直线l作垂线，垂足分别为、．当点，位于直线l的同侧时（如图，易证．如图2，若点在直线l的异侧，其它条件不变，是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（2）变式一：如图3，中，，直线l经过点，点、分别在直线l上，点、位于l的同一侧，如果，求证：．

（3）变式二：如图4，中，依然有，若点，位于l的两侧，如果，，求证：．

Answer

（1）成立，理由见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）K型全等模型的基本型，通过在△ACE和△ADB中利用角的互余关系证明等角，从而证明全等；

（2）一线三角的基本型，通过△AEC和△ADB中内角和180°证明等角，从而证明全等；

（3）一线三角的变式，通过△ADB和△ACE中内角和与外角的关系证明等角，从而证明全等．

（1）成立，理由如下：

在Rt△ADB中，∠ABD＋∠BAD＝90°

在Rt△AEC中，∠CAE＋∠ACE＝90°

∵∠BAC＝90°

∴∠BAD＋∠EAC＝90°

∴∠ABD＝∠CAE

∵AB＝AC

∴△AEC≌△ABD（AAS）

（2）在△ABD中，∠D＋∠BAD＋∠ABD＝180°

在△BEC中，∠E＋∠CEA＋∠EAC＝180°

∵∠CAE＋∠CAB＋∠BAD＝180°

∴∠E＝∠D，∠CAE＝∠ABD

∴△ACE≌△ADB（AAS）

（3）如图4,设∠ABC＝，∠BFD＝

∵∠BDA＋∠BAC＝180°，∠BDA＝∠AEC

∴∠BDA＝∠AEC＝2

∴∠DBF＝2−

∴∠ABD＝−

∴∠EAC＝−

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴CE＝AD，AE＝BD

∵AE＝AD＋DE

∴BD＝CE＋DE