Question

如下图所示，直线y＝－x＋3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ.

(1)求出点C的坐标；

(2)若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为________；

(3)若CQ平分△OAC的面积，求直线CQ对应的函数表达式．

Answer

（1）点C的坐标为(2，2)；（2）t的值为2或4；（3）直线CQ对应的函数表达式为y＝－2x＋6.

【解析】

（1）以和组成二元一次方程组，解此方程组即可求得点C的坐标；

（2）由题意可知，∠COQ是锐角，由此可得若△COQ是等腰直角三角形，存在以下两种情况：①∠CQO=90°；②∠OCQ=90°；根据两种情况画出图形，结合已知条件分析解答即可求得对应的t的值；

（3）由题意可知，当点Q是线段OA的中点时，CQ平分△OCA的面积，由此结合已知条件求得点线段OA的中点的坐标即可求得此时CQ的解析式了.

(1)由 解得： ，

∴点C的坐标为(2，2)．

(2) 由题意可知，∠COQ是锐角，由此可得若△COQ是等腰直角三角形，存在以下两种情况：①∠CQO=90°；②∠OCQ=90°；先分别解答如下：

I、如图①，当∠CQO＝90°，CQ＝OQ时，

∵C(2，2)，

∴OQ＝CQ＝2，解得：t＝2；

II、如图②，当∠OCQ＝90°，OC＝CQ时，过点C作CM⊥OA于点M，

∵C(2，2)，

∴CM＝OM＝2，

∴QM＝OM＝2，

∴OQ＝4，

∴t＝4.

综上所述，若△OCQ是等腰直角三角形，则t的值为2或4.

(3)令－x＋3＝0，得x＝6，

∴A(6，0)．

∴点Q的坐标为(3，0)时，CQ平分△OCA的面积．

设直线CQ的函数表达式为y＝kx＋b.

把C(2，2)，Q(3，0)代入y=kx+b得：

，

解得k＝－2，b＝6，

∴当直线CQ平分△OCA的面积时，其对应的函数表达式为y＝－2x＋6.