Question

已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α．

（1）当α＝40°时，∠BPC＝　   　°，∠BQC＝　   　°；

（2）当α＝　   　°时，BM∥CN；

（3）如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；

（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：　   　．

Answer

（1）70， 125；（2）60；（3）45°；（4）∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°．

【解析】

（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC＝∠PBC，∠QCB＝∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；

（2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB＝180°，依此求解即可；

（3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC的度数；

（4）分别用∠A表示出∠BPC、∠BQC、∠BOC，再相加即可求解．

【解析】
（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，

∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°，

∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，

∴∠CBP+∠BCP＝（∠DBC+∠BCE）＝110°，

∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°，

∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，

∴∠QBC＝∠PBC，∠QCB＝∠PCB，

∴∠QBC+∠QCB＝55°，

∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°；

（2）∵BM∥CN，

∴∠MBC+∠NCB＝180°，

∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α，

∴（∠DBC+∠BCE）＝180°，

即（180°+α）＝180°，

解得α＝60°；

（3）∵α＝120°，

∴∠MBC+∠NCB＝（∠DBC+∠BCE）＝（180°+α）＝225°，

∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°；

（4）∵α＞60°，

∠BPC＝90°﹣α

∠BQC＝135°﹣α

∠BOC＝α﹣45°．

∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC＝（90°﹣α）+（135°﹣α）+（α﹣45°）＝180°．

故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°．