Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F．

（1）求证：△DAE≌△CFE；

（2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF．

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE；
（2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE=EF，AD=CF，由于AB=BC+AD，等量代换得到AB=BC+CF，即AB=BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论．

证明：（1）∵AD∥BC（已知），

∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），

∵E是CD的中点（已知），

∴DE＝EC（中点的定义）．

∵在△ADE与△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（ASA）；

（2）由（1）知△ADE≌△FCE，

∴AE＝EF，AD＝CF，

∵AB＝BC+AD，

∴AB＝BC+CF，

即AB＝BF，

在△ABE与△FBE中，

，

∴△ABE≌△FBE（SSS），

∴∠AEB＝∠FEB＝90°，

∴BE⊥AF.