Question

操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．

（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；

（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；

拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．

Answer

（1）见解析；（2）70°；（3）2

【解析】

（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可．
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）同法可证△BAD≌△CAE，推出EC=BD=4，由∠BEC=∠BAC=120°，推出∠FCE=30°即可解决问题．

（1）证明：如图1中，

∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，

∴∠EAD＝∠CAB，

∴∠EAC＝∠DAB，

∵AE＝AD，AC＝AB，

∴△BAD≌△CAE（SAS）．

（2）【解析】
如图1中，设AC交BE于O．

∵∠ABC＝∠ACB＝55°，

∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，

∵△BAD≌△CAE，

∴∠ABO＝∠ECO，

∵∠EOC＝∠AOB，

∴∠CEO＝∠BAO＝70°，

即∠BEC＝70°．

（3）【解析】
如图2中，

∵∠CAB＝∠EAD＝120°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，

同理可证∠BEC＝∠BAC＝120°，

∴∠FEC＝60°，

∵CF⊥EF，

∴∠F＝90°，

∴∠FCE＝30°，

∴EF＝EC＝2.