Question

已知抛物线经过A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的最大值为_____．

Answer

4

【解析】

设抛物线解析式为y=a(x+4)(x−2)，

将B(0,−4)代入得：−4=−8a,即a=，

则抛物线解析式为y=(x+4)(x−2)=x2+x−4；

过M作MN⊥x轴,

设M的横坐标为m,则M(m,m2+m−4)，

∴MN=|m2+m−4|=−m2−m+4，ON=−m，

∵A(−4,0),B(0,−4)，∴OA=OB=4，

∴S△AMB =S△AMN+S梯形MNOB−S△AOB

=×(4+m)×(−m2−m+4)+×(−m)×(−m2−m+4+4)−×4×4

=2(−m2−m+4)−2m−8

=−m2−4m

=−(m+2)2+4，

当m=−2时，S取得最大值，最大值为4.

故答案为4.