Question

已知，在△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F．

（1）如图①，求证：AE=AF；

（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′，BF′．

①若BF′=6，求CE′的长；

②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．

Answer

（1）证明见解析（2）①6②旋转角α为36°或72°

【解析】

（1）根据等腰三角形两底角相等∠B=∠C，再根据平行线的性质得出，∠AFE=∠A，∠AEF=∠C，得出∠AFE=∠AEF，进一步得出结论；

（2）①求出AE=AF，再根据旋转的性质可得∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，然后利用“边角边”证明△CAE′和△BAF′全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；

②把△AEF绕点A逆时针旋转AE′与过点C与AB平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．

(1)∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵EF∥BC，

∴∠AFE=∠A，∠AEF=∠C，

∴∠AFE=∠AEF，

∴AE=AF.

(2)①由旋转的性质得,∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′，

在△CAE′和△BAF′中，

，

∴△CAE′≌△BAF′(SAS)，

∴CE′=BF′=6；

②由(1)可知AE=BC，

所以,在△AEF绕点A逆时针旋转过程中,点E经过的路径(圆弧)与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，

①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，

所以,∠BAM=∠ABC=72°，

又∵∠BAC=36°，

∴α=∠CAM=36°；

②当点E的像E′与点N重合时，

∵CE′∥AB，

∴∠AMN=∠BAM=72°，

∵AM=AN，

∴∠ANM=∠AMN=72°，

∴∠MAN=180°−72°×2=36°，

∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，

综上所述,当旋转角α为36°或72°.