Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；

（3）设P点是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？

Answer

（1）；（2）；（3），有5个．

【解析】

（1）设交点式为y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可；

（2）设E（t，t2-2t-3），讨论：当03时，2（t-1）=t2-2t-3，然后分别解方程得到满足条件的t的值，再计算出对应的正方形的边长；

（3）设P（x，x2-2x-3），讨论：当-13时,EF=2(t−1),EH=t2−2t−3,

∵矩形EFGH为正方形，

∴EF=EH,即2(t−1)=t2−2t−3，

整理得t2−4t−1=0,解得t1=2+,t2=2− (舍去)，

此时正方形EFGH的边长为2+2，

综上所述,正方形EFGH的边长为2−2或2+2；

(3)设P(x,x2−2x−3)，

当−1