Question

已知关于x的一元二次方程，

（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；

（2）若该方程只有一个小于4的根，求m的取值范围；

（3）若x₁，x₂为方程的两个根，且n＝x₁²+x₂²﹣4，判断动点所形成的数图象是否经过点，并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）m≥2；（3）经过，理由见解析.

【解析】

（1）由△=[-（m+4）]2-4（2m+4）=m2≥0知方程有两个实数根；

（2）由一元二次方程的求根公式得出方程的两个根，由于其中一个等于2，已经小于4，故令另外一个含有m的根大于等于4，即可求出m的值；

（3）先由一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=m+4，x1x2=2m+4，代入n=x12+x22-4，从而将动点P（m，n）仅用含m的代数式表示，再将点A（-5，9）代入验证即可．

（1）证明：∵b2﹣4ac＝[﹣（m+4）]2﹣4（2m+4）＝m2≥0，

∴该一元二次方程总有两个实数根；

（2）【解析】
∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0

∴a＝1，b＝﹣（m+4），c＝2m+4

∴由一元二次方程的求根公式得：x＝＝

∴x1＝m+2，x2＝2

∵该方程只有一个小于4的根

∴m+2≥4

∴m≥2；

（3）∵x1+x2＝m+4，x1x2＝2m+4

∴n＝x12+x22﹣4

＝﹣2x1x2﹣4

＝（m+4）2﹣2（2m+4）﹣4

＝m2+4m+4

∴动点P（m，n）可表示为（m，m2+4m+4）

∴当m＝﹣5时，m2+4m+4＝25﹣20+4＝9

∴动点P（m，n）所形成的数图象经过点A（﹣5，9）．