Question

阅读并解答：

①方程x²﹣2x+1＝0的根是，则有．

②方程2x²﹣x﹣2＝0的根是＝，＝，则有，．

③方程3x²+4x﹣7＝0的根是，，则有，．

（1）根据以上①②③请你猜想：如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根为，那么与系数a、b、c有什么关系？请写出你的猜想并证明你的猜想；

（2）利用你的猜想结论，解决下面的问题：

已知关于x的方程x²+（2k+1）x+k²﹣2＝0有实数根，且，求k的值

Answer

（1），，证明见解析；（2）1.

【解析】

（1）由①②③中两根之和与两根之积的结果可以看出，两根之和正好等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积正好等于常数项与二次项系数之比．

（2）欲求k的值，先把代数式x12+x22变形为两根之积或两根之和的形式，然后与两根之和公式、两根之积公式联立组成方程组，解方程组即可求k值．

（1）猜想为：设ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则有，．

理由：设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，

那么由求根公式可知，，．

于是有，，

综上得，设ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，

则有，．

（2）x1、x2是方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两个实数根

∴x1+x2＝﹣（2k+1），x1x2＝k2﹣2，

又∵x12+x22＝x12+x22+2x1x2﹣2x1x2＝（x1+x2）2﹣2x1x2

∴[﹣（2k+1）]2﹣2×（k2﹣2）＝11

整理得k2+2k﹣3＝0，

解得k＝1或﹣3，

又∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2 ）≥0，解得k≥﹣，

∴k＝1．