Question

如图（1），在四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，AB⊥AD，点E在CD的延长线上，且∠BAC＝∠DAE．

（1）求证：AC＝AE；

（2）求证：CA平分∠BCD；

（3）如图（2），设AF是△ABC的边BC上的高，试求CE与AF之间的数量关系．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）EC＝2AF．

【解析】

（1）首先根据∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，得出∠ABC＝∠ADE，进而可判定△ABC≌△ADE（ASA），即可得出AC＝AE；

（2）由（1）中△ABC≌△ADE得出AC＝AE，∠BCA＝∠E，进而得出∠ACD＝∠E，∠BCA＝∠E＝∠ACD，即可判定CA平分∠BCD；

（3）首先过点A作AM⊥CE，由角平分线的性质得出AF＝AM，然后由∠BAC＝∠DAE，得出∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°，再由AC＝AE，∠CAE＝90°，得出∠ACE＝∠AEC＝45°，由AM⊥CE，得出∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°，进而得出CM＝AM＝ME，又由AF＝AM，即可得出EC＝2AF．

（1）证明：如图（1），∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，

∴∠ABC＝∠ADE，

在△ABC与△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（ASA）

∴AC＝AE．

（2）证明：如图（1），∵△ABC≌△ADE，

∴AC＝AE，∠BCA＝∠E，

∴∠ACD＝∠E，

∴∠BCA＝∠E＝∠ACD，

即CA平分∠BCD；

（3）【解析】
EC＝2AF．证明如下：

如图（2），过点A作AM⊥CE，垂足为M，

∵AM⊥CD，AF⊥CF，∠BCA＝∠ACD，

∴AF＝AM，

又∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°，

∵AC＝AE，∠CAE＝90°，

∴∠ACE＝∠AEC＝45°，

∵AM⊥CE，

∴∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°，

∴CM＝AM＝ME，

又∵AF＝AM，

∴EC＝2AF．