Question

如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角形的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；

（2）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为　   （直接写出结果）；

（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，OD为∠BOM平分线．请探究：∠MOD与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）12秒或48秒；（3）2∠MOD+∠NOC=150°，理由见解析.

【解析】

（1）如图2中，设ON的反向延长线为OD，根据余角的性质和对顶角的性质可证明∠COD=∠AOD；

（2）分两种情形分别构建方程即可解决问题；

（3）结论：∠AOM=∠NOC+30°．根据角的和差定义判断即可．

（1）【解析】
直线ON平分∠AOC，设ON的反向延长线为OD，

∵OM平分∠BOC，

∴∠MOC＝∠MOB，

又∵OM⊥ON，

∴∠MOD＝∠MON＝90°，

∴∠COD＝∠BON，

又∵∠AOD＝∠BON，

∴∠COD＝∠AOD，

即直线ON平分∠AOC．

（2）【解析】
由题意5t＝60°或5t＝240°，

解得t＝12或48，

故答案为12秒或48秒．

（3）【解析】
结论：∠AOM＝∠NOC+30°．

理由：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，

∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，

∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°，

即∠AOM＝∠NOC+30°．

∵OD为∠BOM平分线,

∴∠BOM=2∠MOD,

∵∠AOM+∠BOM=180°,

∴∠AOM=180°-2∠MOD,

∴180°-2∠MOD=∠NOC+30°,

∴2∠MOD+∠NOC=150°.